El bicondicionalsólo será verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de la verdad.
Tabla de la bicondicional
La proposición bicondicional es verdaderas si ambas proposiciones atómicas que las componen son verdaderas o ambas son falsa a la vez.
La bicondicional puede definirse como la conjunción de una implicación y su reciproca.
Ejemplo:
Sea la proposición molecular: " Dos vectores son perpendiculares si y sólo si el producto escalar entre los vectores da cero"
p = "Dos vectores son perpendiculares"
q = "el producto escalar entre los vectores da cero"
Quiere decir que "Si los vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar entre los vectores da cero" y "Si el producto escalar de dos vectores da cero, entonces son vectores perpendiculare "
Por tanto: o ambas se cumplen o no se cumple para que sea verdadera.
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina condicional de estas proposiciones a la proposición:
Donde p es la proposición antecedente, q la proposición llamada consecuentedel condicional. Solamente la resultante de la unión condicional será falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso si no es el caso siempre la resultante será verdadera.
Tabla de el condicional
El condicional que une a dos proposiciones es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
Ejemplos:
Sea la proposición molecular: "Si entreno, entonces me inscribo en la competencia"
p = "entreno" q = "me inscribo en la competencia"
Nos interesa saber la verdad o falsedad de la proposición condicional, en relación a la verdad o falsedad de la proposicionespy q. El enunciado puede pensarse como compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso.
Es evidente que si p es falso, es decir no entreno, quedo liberado de compromiso y me inscriba o no en la competencia, el condicional es verdadero.
Si p es verdadera, es decir entreno, y no me inscribo en la competencia, el compromiso no se cumple y la proposición condicionada resulta falsa.
Si p y q son verdaderas, entonces la proposición es verdadera pues el compromiso se cumple.
Disyunción Inclusiva
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las dos proposiciones de las componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsa, la proposición resultante es falsa.
La tabla de la verdadde disyunción Inclusiva:
La tabla de la verdad de la disyunción inclusiva se presenta:
Es verdadera si al menos una de las variables atómicas es verdadera. Se puede decir que solamente cuando las variables atómicas son falsas es que la proposición resultante da falsa.
Ejemplos:
Sea la proposición molecular: "El cielo es azul o 12 es un número par"
p = "El cielo es azul" (verdadera) , q = "12 es un número par" (verdadera)
por ser ambas verdadera la disyunción inclusiva entre ellas es verdadera.
Sea la proposición molecular: "El número 1 es el elemento neutro de la suma o 44 es un número par"
p = "El número 1 es el elemento neutro de la suma" (falsa) , q = "44 es un número par" (verdadera)
Por tanto, la disyunción inclusiva entre ellas es verdadera, ya que una de ellas es verdadera.
Sea la proposición molecular: "La navidad se celebra en agosto o 13 es un número par"
p = "La navidad se celebra en agosto" (verdadera) , q = "13 es un número par" (falsa)
Por tanto, la disyunción inclusiva entre ellas es falsa, ya que ambas no son simultáneamente falsa.
Disyunción exclusiva.
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción exclusiva de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la disyunción exclusiva es verdadera si sólo una de las dos proposiciones de las componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsa,todas son verdaderas la proposición resultante es falsa.
es falsa.
Es verdadera si sólo una de las variables atómicas es verdadera. Cuando las dos son falsas o las dos son verdaderas entonces la proposición resultante es falsa.
Ejemplos:
Sea la proposición molecular: "O uno es el elemento neutro de la multiplicación o 12 es un número par"
p = "uno es el elemento neutro de la multiplicación" (verdadera) , q = "12 es un número par" (verdadera)
Por ser ambas verdadera la disyunción exclusiva entre ellas es falsa.
Sea la proposición molecular: "O la navidad se celebra en diciembre o 13 es un número par"
p = "La navidad se celebra en diciembre" (verdadera) , q = "13 es un número par" (falsa)
Por tanto, la disyunción exclusiva entre ellas es verdadera, ya que ambas no son simultáneamente verdaderas.
Sea la proposición molecular: "O los carnavales se celebran en agosto o 15 es un número par"
p = "los carnavales se celebran en agosto" (falsa) , q = "15 es un número par" (falsa)
Por tanto, la disyunción exclusiva entre ellas es falsa, ya que ambas son falsas.
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. Cuando una de ellas no cumple la proposición resultante es falsa.
Valor de la verdad de la conjunción:
La tabla de la verdad de la conjunción se presenta:
Para que la proposición molecular unida por la conjunción sea verdadera, las proposiciones atómicas que la conforman ambas tienen que ser verdaderas simultáneamente.
Ejemplos:
Sea la proposición molecular: "8 es múltiplo de 2 y 9 es un número impar"
p = "8 es múltiplo de 2" (verdadera) , q = "9 es un número impar" (verdadera)
por ser ambas verdadera la conjunción entre ellas es verdadera.
Sea la proposición molecular: "La fresa es una fruta y 3 es un número par"
p = "La fresa es una fruta" (verdadera) , q = "3 es un número par" (falsa)
Por tanto, la conjunción entre ellas es falsa, ya que ambas no son simultáneamente verdaderas.
Es la única conectiva singular que estudiaremos; Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra que es su negación.
Presentamos a continuación algunos signos utilizados para negar una proposición.
De una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por -p(se lee no p) que se le asigna un valor contrario.
p: Luis habla Ingles.
-p: Luis no habla Ingles
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad.
A partir de una proposición se obtiene la otra
Ejemplo: la negación de p : "Todos los peces viven en el océano"
-p : "No es cierto que todos los peces viven en el océano"
Dada la importancia de los conectivos señalados , es pertinente establecer los valores de la verdad (V ó F) de cada proposición compuesta(molecular o resultante) para cada conectivo. A tal efecto , se utiliza la tabla de la verdad, la cual se constituye partiendo de la valoración de cada una de las proposiciones componentes (atómicas).
Denominamos conectiva de una proposición molecular, al elemento verbal o escrito que une la proposiciones atómicas que forman aquella. Por extensión a la negación de una proposición le llamaremos conectiva.
Existen dos tipos deconectivas: las que ligan a dos proposiciones atómicas o conectivas múltiples y las negaciones conectivas simples.
Aunque en el video nos muestra 5 conectivas, necesitamos de 6 conectivas y son las siguientes:
"no", "y", "o", "o....o", "si....entonces", "si y solo si"
Ejemplos:
a) No, los tres ángulos de un triángulo rectangulos son iguales.
b) Julio estudia Matemática y José estudia violín.
c) Está nublado o hace frio
d)O el número natural n es par o el número natural n es impar.
e) Si la nieve es negra, entonces el gato es un cuadrúpedo.
f) El triángulo tiene cuatro lados si y solo si 3x5 = 9
Observaciones
Que la construcción gramatica de los ejemplos a) y b) no es la más apropiada, a veces es preferible hacerlo así para evitar ambiguedades.
Más adelante serán debidamente aclarados los ejemplos e) y f)
Simbología de los conectivos
Si representamos las proposiciones átomicas con p y q, las proposiciones molecularea de los ejemplos dado anteriormente tenemos que:
a) nop b) pyq c) poq d) opo q e) sipentoncesq f) psi y solo siq
Utilizando los símbolos que representan las conectivas nos resultaría más sencillo, como lo vemos a continuación.
Es de fundamental importancia que el lenguaje de la lógica, por referirse a los razonamientos, tengan una función informativa que predique la verdad o la falsedad.
La proposición: es un enunciado declarativoque puede considerarse como verdadero o falso, pero no como ambas al mismo tiempo.
Valor de la verdad: Es la cualidad de veracidad que describe apropiadamente a una proposición: esta puede ser verdadera o falsa.
Esquema proposicional: Es cuando la proposición depende de una variable para que sea verdadera o falsa.
Representacion de una proposición.
Usualmente Las proposiciones se pueden representar por letras minúsculas, ejemplo: p, q, r, s, m... a las que llamamos letras o variables proposicionales.
Ejemplo:
Dados los enunciados:
a ) Caracas es la capital de Venezuela.
p = Caracas es la capital de Venezuela.
b) En florida hay cinco trillones de granos de arena
q = En florida hay cinco trillones de granos de arena.
Proposiciones Simples o compuestas
Dos o más proposiciones pueden unirse dando origen a una proposición de estructura más compleja, las cuales se denominan fórmulas proposicionales, proposiciones moleculares o proposiciones compuestas. Las componentes de estas proposiciones se llaman componentes simples o atómicas.
En el siguiente ejemplo, p es una proposición simple al igual que q
p = Juan estudia en la Unefa
q = Lucy estudia en la Unefa
Mientras que: "Juan estudia en la Unefa y Lucy estudia en la Unefa" es una proposición compuesta p y q.
Conectivos
Observa, que para formar la proposición anterior se unen las proposiciones simple por medio de la conjunción "y", siendo entonces "y" un conectivo
Otras formas como se pueden conectar las proposiciones con otros conectivos que son:
La disyunción (o): " Yolanda va a la playao Julio va al Ávila"
El condicional (si...entonces): "Siestudias,entoncesapruebas el examen"
El bicondicional (si y solo si): "Dos vectores son perpendicularessi y solosiel producto escalar los dos vectores da cero"
Negación de una proposición
En ocasiones conocemos una proposición y necesitamos saber la proposición contraria, en este caso hablamos de la negación de una proposición. Por ejemplo:
p = Ernesto es buen estudiante, la negación de la proposición p sería:
no p = No es cierto que Ernesto es buen estudiante.
Denotación para los valores de la verdad
Los posibles valores de la verdad de una proposición se puede denotar con letras o con números
Los posibles valores de la verdad se denotarán con letras: V para verdadero y F para falso.
Los valores de la verdad se pueden denotar con números: 1 para verdadero y 0 para falso.
De este modo, la proposición "El hierro es un metal" tiene un valor de verdad igual V, en tanto la proposición "La luna es de queso" tiene un valor de verdad igual a F.
El uso del lenguaje tiene tres funciones básicas, son: comunicar, expresar y dirigir.
El lenguaje expresivo o emotivo: no es ni verdadero ni falso. Su función es comunicar los sentimientos y las emociones. Está dirigido a expresar un estado de ánimo. Es producido por la imaginación donde la fantasia de los estados de ánimos se convierte en una representación.
El lenguaje comunicativo o referencial: transmite desde simple información hasta descripciones del desrrollo de ciencias exactas. En este lenguaje es prioritario determinar la verdad o la falsedad, la presentación de razonamientos validos o no validos, con la combinación de estos factores serán la base del conocimiento Humano.
El lenguaje directivo o imperativo: Su función es originar o impedir alguna acción. Se pretende que se cumpla o un mandato igual con una pregunta a la que se espera una respuesta. No expresa ninguna verdad o falsedad.
El lenguaje se manifiesta a través de dos rasgos fundamentales:
Primer caso la escritura pintográfica-ideográfica, desde geroglificos hasta letreros, signos númericos, señales de transitos...
Segundo caso tenemos el lenguaje fónico: Este lenguaje se compone de un conjunto de signos convencionales, regla de formación de palabras y de formulación de oraciones.
El alfabeto expresan los signos que representan los sonidos de una lengua. La palabra se refiere a los objetos y a sus cualidades para distinguir uno de otros: Es la oración que expresa en el lenguaje el sentido completo.
La oración segun su expresión puede ser: enunciativa, interrogativa, desiderativa, dubitativa y exclamativa
1. La oración enunciativa es aquella que expresa algo que puede ser verdadero o falso.
Ejemplos:
La tierra gira alrrededor de un eje imaginario.
El triangulo es un polígono de tres lados.
Nicolás es muy gracioso.
2. La oración interrogativa es aquella que preunta por algo o alguien.
Ejemplos:
¿Cuánto sacastes en la prueba?
¿Qué es un satélite?
¿Hace cuánto tiempo se llovió?
3. La oración desiderativa es aquella que expresa el deseo de que suceda o no un hecho.
Ejemplos:
Que bueno si se gana el premio.
Ojala sea varón
Dios quiera que pueda viajar.
4. La oración dubitativa es aquella que expresa duda y generalmente viene acompañada por las siguientes expresiones: quizás, tal vez, posiblemente, a lo mejor..
Ejemplos:
Quizás llueva.
Es posible que se vaya.
Tal vez sea lo mejor que puede hacer.
5. La oración imperativa sirve para pedir, mandar, aconsejar, prohibir.
Ejemplos:
No te lo permito.
Te suplico que me perdones.
No fumes.
6. La oración exclamativa expresa un sentimiento, entusiasmo, indignación.
Ejemplo:
¡Genial!
¡Gracias a Dios!
¡Muy Hermoso!
Se aprecia en estos ejemplos que las únicas oraciones que pueden expresar algo que puede ser verdadero ofalso son las oraciones enunciativas
