Para la construcción de la tabla de la verdad la dividimos en dos parte. La parte izquierda la llamaremos margen.
En el margen colocaremos los valores de verdad de las variables proposicionales que intervienen. El número de dichas componentes determina la cantidad de posibles valores de verdad que apareceran en la tabla. Este número total se calcula con la operación:
donde el dos indica los dos únicos valores que puede asumir una variable proposicional (V o F), y el exponente es el número de variables proposicionales que intervien, ejemplo:
viernes, 2 de septiembre de 2011
martes, 9 de agosto de 2011
Valores de la verdad de los Operadores Lógicos.Bicondicional o Coimplicación)
El bicondicional
Es la doble implicación.
Es la doble implicación.
Tabla de la bicondicional
La proposición bicondicional es verdaderas si ambas proposiciones atómicas que las componen son verdaderas o ambas son falsa a la vez.
La bicondicional puede definirse como la conjunción de una implicación y su reciproca.
Ejemplo:
- Sea la proposición molecular: " Dos vectores son perpendiculares si y sólo si el producto escalar entre los vectores da cero"
p = "Dos vectores son perpendiculares"
q = "el producto escalar entre los vectores da cero"
Quiere decir que "Si los vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar entre los vectores da cero" y "Si el producto escalar de dos vectores da cero, entonces son vectores perpendiculare "
Por tanto: o ambas se cumplen o no se cumple para que sea verdadera.
Valores de la verdad de los Operadores Lógicos. (La condicional)
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina condicional de estas proposiciones a la proposición:
p = "entreno"
q = "me inscribo en la competencia"
Nos interesa saber la verdad o falsedad de la proposición condicional, en relación a la verdad o falsedad de la proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso.
Es evidente que si p es falso, es decir no entreno, quedo liberado de compromiso y me inscriba o no en la competencia, el condicional es verdadero.
Si p es verdadera, es decir entreno, y no me inscribo en la competencia, el compromiso no se cumple y la proposición condicionada resulta falsa.
Si p y q son verdaderas, entonces la proposición es verdadera pues el compromiso se cumple.
Donde p es la proposición antecedente, q la proposición llamada consecuente del condicional. Solamente la resultante de la unión condicional será falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso si no es el caso siempre la resultante será verdadera.
Tabla de el condicional
El condicional que une a dos proposiciones es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "Si entreno, entonces me inscribo en la competencia"
q = "me inscribo en la competencia"
Nos interesa saber la verdad o falsedad de la proposición condicional, en relación a la verdad o falsedad de la proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso.
Es evidente que si p es falso, es decir no entreno, quedo liberado de compromiso y me inscriba o no en la competencia, el condicional es verdadero.
Si p es verdadera, es decir entreno, y no me inscribo en la competencia, el compromiso no se cumple y la proposición condicionada resulta falsa.
Si p y q son verdaderas, entonces la proposición es verdadera pues el compromiso se cumple.
Valores de la verdad de los Operadores Lógicos. (La disyunción)
Disyunción
Existen dos tipos de disyunción:
Disyunción Inclusiva
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las dos proposiciones de las componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsa, la proposición resultante es falsa.
La tabla de la verdad de disyunción Inclusiva:
Disyunción Inclusiva
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición:
La tabla de la verdad de disyunción Inclusiva:
La tabla de la verdad de la disyunción inclusiva se presenta:
Es verdadera si al menos una de las variables atómicas es verdadera. Se puede decir que solamente cuando las variables atómicas son falsas es que la proposición resultante da falsa.
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "El cielo es azul o 12 es un número par"
por ser ambas verdadera la disyunción inclusiva entre ellas es verdadera.
- Sea la proposición molecular: "El número 1 es el elemento neutro de la suma o 44 es un número par"
Por tanto, la disyunción inclusiva entre ellas es verdadera, ya que una de ellas es verdadera.
- Sea la proposición molecular: "La navidad se celebra en agosto o 13 es un número par"
Por tanto, la disyunción inclusiva entre ellas es falsa, ya que ambas no son simultáneamente falsa.
p = "La navidad se celebra en diciembre" (verdadera) , q = "13 es un número par" (falsa)
Disyunción exclusiva.
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción exclusiva de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la disyunción exclusiva es verdadera si sólo una de las dos proposiciones de las componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsa,todas son verdaderas la proposición resultante es falsa.
es falsa.
Es verdadera si sólo una de las variables atómicas es verdadera. Cuando las dos son falsas o las dos son verdaderas entonces la proposición resultante es falsa.
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "O uno es el elemento neutro de la multiplicación o 12 es un número par"
p = "uno es el elemento neutro de la multiplicación " (verdadera) , q = "12 es un número par" (verdadera)
Por ser ambas verdadera la disyunción exclusiva entre ellas es falsa.
- Sea la proposición molecular: "O la navidad se celebra en diciembre o 13 es un número par"
Por tanto, la disyunción exclusiva entre ellas es verdadera, ya que ambas no son simultáneamente verdaderas.
- Sea la proposición molecular: "O los carnavales se celebran en agosto o 15 es un número par"
Por tanto, la disyunción exclusiva entre ellas es falsa, ya que ambas son falsas.
Valores de la verdad de los Operadores Lógicos. (La conjunción)
La conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. Cuando una de ellas no cumple la proposición resultante es falsa.
Valor de la verdad de la conjunción:
La tabla de la verdad de la conjunción se presenta:
Para que la proposición molecular unida por la conjunción sea verdadera, las proposiciones atómicas que la conforman ambas tienen que ser verdaderas simultáneamente.
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "8 es múltiplo de 2 y 9 es un número impar"
p = "8 es múltiplo de 2" (verdadera) , q = "9 es un número impar" (verdadera)
por ser ambas verdadera la conjunción entre ellas es verdadera.
- Sea la proposición molecular: "La fresa es una fruta y 3 es un número par"
Por tanto, la conjunción entre ellas es falsa, ya que ambas no son simultáneamente verdaderas.
Valores de la verdad de los Operadores Lógicos. (La negación)
La conectiva "no" o negación.
Es la única conectiva singular que estudiaremos; Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra que es su negación.
Presentamos a continuación algunos signos utilizados para negar una proposición.
De una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por -p(se lee no p) que se le asigna un valor contrario.
p: Luis habla Ingles.
-p: Luis no habla Ingles
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad.
A partir de una proposición se obtiene la otra
Ejemplo: la negación de p : "Todos los peces viven en el océano"
-p : "No es cierto que todos los peces viven en el océano"
o bien
-p : "No todos los peces viven en el océano"
o bien
-p : "Los peces no todos viven en el océano"
jueves, 4 de agosto de 2011
Valores de la verdad de los Operadores Lógicos
Dada la importancia de los conectivos señalados , es pertinente establecer los valores de la verdad (V ó F) de cada proposición compuesta(molecular o resultante) para cada conectivo. A tal efecto , se utiliza la tabla de la verdad, la cual se constituye partiendo de la valoración de cada una de las proposiciones componentes (atómicas).
La conectiva "no" o negación.
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